Particle-PLUS コラム - プラズマモデリング(連載) - 第3回
ウェーブフロントでは「粒子法」でプラズマをモデル化したシミュレーションソフトウェア『Particle-PLUS』や 「流体法」のプラズマシミュレーションソフトウェア『VizGlow』を取り扱っており, これらを適宜使い分けながら皆様方へ長年ソリューションを提供しております. 本コラムを読んでプラズマシミュレーションに少しでも興味をお持ちになりましたら 資料請求や 無料セミナーなど承りますので, いつでもお気軽にお問い合わせください.
第2回では, プラズマの流体モデルで使用する諸量の定義を与えました. また,Boltzmann方程式の0次モーメントを計算して連続方程式を導きました. 今回は引き続き,1次モーメントから運動量方程式を,2次モーメントからエネルギー方程式を導きましょう. (途中の式変形に興味がなければ「1.7. 流体方程式まとめ」まで読み飛ばしてください.)
1.5. 運動量方程式(運動量保存則)Momentum equation (momentum conservation)
Boltzmann方程式の1次の速度モーメントは運動量方程式を与えます. \begin{align*} \int m_{s}\vec{v} \left\{\frac{\partial f_{s}}{\partial t} + \vec{v}\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{x}}\right) + \frac{q_{s}}{m_{s}}\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{v}}\right) \right\} \mathrm{d}\vec{v} = \int m_{s}\vec{v} \left(\frac{\delta f_{s}}{\delta t}\right)_{C} \mathrm{d}\vec{v} \end{align*} [左辺第1項] \begin{align*} \int m_{s}\vec{v}\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial t}\right) \mathrm{d}\vec{v} = m_{s}\frac{\partial}{\partial t}\int \vec{v}f_{s} \mathrm{d}\vec{v} = m_{s}\frac{\partial}{\partial t}\left(n_{s}\vec{u}_{s}\right) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_{s}\vec{u}_{s}\right) \end{align*} [左辺第2項] \begin{alignat*}{2} \int m_{s}\vec{v} \left\{ \vec{v}\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{x}}\right) \right\} \mathrm{d}\vec{v} & = \frac{\partial}{\partial\vec{x}} \cdot \int m_{s}\left(\vec{v}\otimes\vec{v}\right)f_{s} \mathrm{d}\vec{v} && \text{ (下記参照)} \\ & = \frac{\partial}{\partial\vec{x}} \cdot \left( m_{s}n_{s}\langle\vec{v}\otimes\vec{v}\rangle \right) && \\ & = \frac{\partial}{\partial\vec{x}} \cdot \left\{ {\bf{P}}_{s} + \rho_{s}\left(\vec{u}_{s}\otimes\vec{u}_{s}\right) \right\} && \end{alignat*} $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$,$(\partial /\partial\vec{x})=(\partial_{1},\partial_{2},\partial_{3})$ と書くと, \begin{align*} \text{$i$ 成分: } \left(\vec{v}\left\{\vec{v}\cdot\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{x}}\right\}\right)_{i} =v_{i}\sum_{j=1}^{3}v_{j}(\partial_{j}f_{s}) =\sum_{j=1}^{3}(v_{i}v_{j})(\partial_{j}f_{s}) =\sum_{j=1}^{3}\partial_{j}\left\{(v_{i}v_{j})f_{s}\right\} =\left(\frac{\partial}{\partial\vec{x}}\cdot\left\{\left(\vec{v}\otimes\vec{v}\right)f_{s}\right\}\right)_{i} \end{align*} です. [左辺第3,4項] \begin{alignat*}{2} \int m_{s}\vec{v} \left\{ \frac{q_{s}}{m_{s}} \left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{v}}\right) \right\} \mathrm{d}\vec{v} & = q_{s}\underset{ \text{連続方程式のときと同様に $|\vec{v}|\to\infty$ で $0$}}{ \underline{ \int \frac{\partial}{\partial\vec{v}}\cdot\left\{ \left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\otimes\vec{v}f_{s} \right\} \mathrm{d}\vec{v} }} - q_{s} \int \left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right) f_{s} \mathrm{d}\vec{v} && \text{ (部分積分/下記参照)} \\ & = - q_{s}n_{s} \left(\vec{E}+\vec{u}_{s}\times\vec{B}\right) \end{alignat*} $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$, $\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}=\vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3})$, $(\partial /\partial\vec{v})=(\partial_{v_{1}},\partial_{v_{2}},\partial_{v_{3}})$ と書くと, Leibniz則は, \begin{align*} \text{$i$成分: } \left(\frac{\partial}{\partial\vec{v}}\left\{\left(\vec{F}\otimes\vec{v}\right)f_{s}\right\}\right)_{i} & = \sum_{j=1}^{3}\partial_{v_{j}}\left\{ \left( F_{j}v_{i} \right) f_{s} \right\} \\ & = \sum_{j=1}^{3}\left[ \left( \partial_{v_{j}}F_{j} \right) v_{i}f_{s } + F_{j} \left( \partial_{v_{j}}v_{i} \right) f_{s} + F_{j} \left\{ v_{i} \left( \partial_{v_{j}}f_{s} \right) \right\} \right] \\ & = \bigg( \underset{\text{速度発散は明らかに $0$}} {\underline{\left( \frac{\partial}{\partial\vec{v}}\cdot\vec{F} \right)}} \vec{v}f_{s} + \vec{F}\cdot \underset{\text{恒等テンソル}} {\underline{\left( \frac{\partial}{\partial\vec{v}}\otimes\vec{v} \right)}}f_{s} + \vec{v} \left( \vec{F}\cdot\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{v}} \right) \bigg)_{i} \\ & = \left( \vec{F}f_{s} + \vec{v}\left(\vec{F}\cdot\frac{\partial f_{s}}{\partial \vec{v}}\right) \right)_{i} \end{align*} とできます. [右辺] \begin{align*} \int m_{s}\vec{v}\left(\frac{\delta f_{s}}{\delta t}\right)_{C} \mathrm{d}\vec{v} = \vec{K}_{s},\qquad \vec{K}_{s} = \sum_{s^{\prime}\neq s}{\vec{\mathcal{K}}}_{ss^{\prime}} \end{align*} ${\vec{\mathcal{K}}}_{ss^{\prime}}$ は粒子群 $s$ と粒子種 $s^{\prime}$ の間の運動量交換を表します*1. 運動量保存則より,運動量交換項は ${\vec{\mathcal{K}}}_{ss^{\prime}}=-{\vec{\mathcal{K}}}_{s^{\prime}s}$ でなければなりません. これより,明らかに ${\vec{\mathcal{K}}}_{ss}=0$ です.
*1 本コラム中では,粒子群 $s$ と$s^{\prime}$ の間の相対的ないし相互作用的な量であることを明示するための字体としてしばしばカリグラフィを用いることにます.
1.6. エネルギー方程式(エネルギー保存則)Energy equation (energy conservation)
Boltzmann方程式の2次の速度モーメントはエネルギー方程式を与えます. \begin{align*} \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right) \left\{\frac{\partial f_{s}}{\partial t} + \vec{v}\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{x}}\right) + \frac{q_{s}}{m_{s}}\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{v}}\right) \right\} \mathrm{d}\vec{v} = \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right) \left(\frac{\delta f_{s}}{\delta t}\right)_{C} \mathrm{d}\vec{v} \end{align*} [左辺第1項] \begin{align*} \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right)\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial t}\right) \mathrm{d}\vec{v} & = \frac{\partial}{\partial t}\int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right)f_{s} \mathrm{d}\vec{v} \\ & = \frac{\partial}{\partial t}\int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{u}_{s}\cdot\vec{u}_{s} +2\vec{u}_{s}\cdot\vec{w}_{s}+\vec{w}_{w}\cdot\vec{w}_{s}\right)f_{s} \mathrm{d}\vec{v} \\ & = \frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{1}{2}m_{s}n_{s}\left(\vec{u}_{s}\cdot\vec{u}_{s}\right) +m_{s}n_{s}\vec{u}_{s}\cdot\langle\vec{w}_{s}\rangle +\frac{1}{2}m_{s}n_{s}\langle\vec{w}_{s}\cdot\vec{w}_{s}\rangle\right\} \\ & = \frac{\partial}{\partial t}\left( n_{s}\varepsilon_{s}+\theta_{s} \right) \end{align*} ここで,$\vec{w}_{s}$ の定義 $\vec{w}_{s}=\vec{v}_{s}-\vec{u}_{s}$ より,$\langle\vec{w}_{s}\rangle=\langle\vec{v}\rangle-\vec{u}_{s}=0$ を用いました. [左辺第2項] \begin{alignat*}{2} \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right) \left\{ \vec{v}\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{x}}\right) \right\} \mathrm{d}\vec{v} & = \frac{\partial}{\partial\vec{x}} \cdot \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right)\vec{v}f_{s} \mathrm{d}\vec{v} && \\ & = \frac{\partial}{\partial\vec{x}} \cdot \bigg\{ \underset{ =n_{s}\varepsilon_{s}\vec{u}_{w}}{ \underline{ \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{u}_{s}\cdot\vec{u}_{s}\right)\vec{u}_{s} \int f_{s} \mathrm{d}\vec{v} }} + m_{s}\vec{u}_{s} \underset{ \text{$\langle\vec{w}_{s}\rangle=0$ より $0$}}{ \underline{ \int \left(\vec{u}_{s}\cdot\vec{w}_{s}\right) f_{s} \mathrm{d}\vec{v} }} + \underset{ =\theta_{s}\vec{u}_{s}}{ \underline{ \frac{1}{2}m_{s}\vec{u}_{s} \int \left(\vec{w}_{s}\cdot\vec{w}_{s}\right) f_{s} \mathrm{d}\vec{v} }} \bigg. && \\ & \phantom{= \frac{\partial}{\partial\vec{x}} \cdot\quad} \bigg. + \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{u}_{s}\cdot\vec{u}_{s}\right) \underset{ =\langle\vec{w}_{s}\rangle=0}{ \underline{ \int \vec{w}_{s}f_{s} \mathrm{d}\vec{v} }} + \underset{ \substack{=m_{s}\vec{u}_{s}\cdot\int(\vec{w}_{s}\otimes\vec{w}_{s})f_{s}\mathrm{d}\vec{v}\\ =(\vec{u}_{s}\cdot{\bf{P}}_{s})\hfill}}{ \underline{ m_{s}\int \left(\vec{u}_{s}\cdot\vec{w}_{s}\right)\vec{w}_{s} f_{s} \mathrm{d}\vec{v} }} + \underset{ =\vec{Q}_{s}}{ \underline{ \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{w}_{s}\cdot\vec{w}_{s}\right)\vec{w}_{s} f_{s} \mathrm{d}\vec{v} }} \bigg\} && \\ & = \frac{\partial}{\partial\vec{x}}\cdot\left\{ \left(n_{s}\varepsilon_{s}+\theta_{s}\right)\vec{u}_{s} +\left(\vec{u}_{s}\cdot{\bf{P}}\right)+\vec{Q}_{s} \right\} \end{alignat*} [左辺第3,4項] \begin{alignat*}{2} \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right) \frac{q_{s}}{m_{s}}\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\cdot\left(\frac{\partial f_{s}}{\partial\vec{v}}\right) \mathrm{d}\vec{v} & = \frac{q_{s}}{2}\int \left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right) \bigg[ \frac{\partial}{\partial\vec{v}}\cdot \left\{ \left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)f_{s} \right\} - \underset{ =0}{ \underline{ \left\{ \frac{\partial}{\partial\vec{v}}\cdot \left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right) \right\} }} f_{s} \bigg] \mathrm{d}\vec{v} && \\ & = \frac{q_{s}}{2}\underset{ \text{$|\vec{v}|\to\infty$ で $0$}}{ \underline{ \int \frac{\partial}{\partial\vec{v}}\cdot \left\{ \left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right) \left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)f_{s} \right\} \mathrm{d}\vec{v} }} - \frac{q_{s}}{2}\int \underset{ =2\vec{v}}{ \underline{ \left\{ \frac{\partial}{\partial\vec{v}}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right) \right\} }} \cdot \left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)f_{s} \mathrm{d}\vec{v} && \\ & = - q_{s}\int \left(\vec{v} \cdot \vec{E}\right) f_{s} \mathrm{d}\vec{v} - q_{s}\int \underset{ =0}{ \underline{ \vec{v} \cdot \left(\vec{v}\times\vec{B}\right) }} f_{s} \mathrm{d}\vec{v} && \\ & = -q_{s}n_{s}\left(\vec{u}_{s}\cdot\vec{E}\right) \end{alignat*} [右辺] \begin{align*} \int \frac{1}{2}m_{s}\left(\vec{v}\cdot\vec{v}\right)\left(\frac{\delta f_{s}}{\delta t}\right)_{C} \mathrm{d}\vec{v} = H_{s}, \qquad H_{s} = \sum_{s^{\prime}\neq s}\mathcal{H}_{ss^{\prime}} \end{align*} $\mathcal{H}_{ss^{\prime}}$ は粒子群 $s$ と粒子種 $s^{\prime}$ の間のエネルギー交換を表します*1. エネルギー保存則より,$\mathcal{H}_{ss^{\prime}}=-\mathcal{H}_{s^{\prime}s}$ でなければなりません. これより,明らかに $\mathcal{H}_{ss}=0$ です.
1.7. 流体方程式まとめSummary (fluid equiations)
- 密度 $n_{s}=n_{s}(\vec{x},t)$
- 平均速度(流速) $\vec{u}_{s}=\vec{u}_{s}(\vec{x},t)$
- 熱エネルギー $\theta_{s}=\theta_{s}(\vec{x},t)$
![distribution function in phase space](/CAE/particle-plus/column/img/fluid_eq.png)
▲ 流体モデルの方程式系のイメージ図.
第3回まとめ
今回は前回に引き続き,流体モデルで実際に解かれるプラズマの流体方程式(連続方程式・運動量方程式・エネルギー方程式) の導出を完了しました. しかしながら,方程式を実際に解けるようにするためには,電磁場・応力と熱流束・散乱項に対する追加の条件が必要であることを述べました. 次回からは,その追加条件について見ていきましょう. (第4回では応力と熱流束を決めるための条件を考えます.)
ウェーブフロントでは「粒子法」でプラズマをモデル化したシミュレーションソフトウェア『Particle-PLUS』や 「流体法」のプラズマシミュレーションソフトウェア『VizGlow』を取り扱っており, これらを適宜使い分けながら皆様方へ長年ソリューションを提供しております. 本コラムを読んでプラズマシミュレーションに少しでも興味をお持ちになりましたら 資料請求や 無料セミナーなど承りますので, いつでもお気軽にお問い合わせください.
![]() |
上野 崚一郎 | 博士(理学) 1991年 広島県生まれ 2019年 ウェーブフロント入社 2019年 広島大学大学院理学研究科 博士後期課程修了 学生時代は数値シミュレーションを使った素粒子論(格子ゲージ理論)の研究に従事. 入社後は,専門職(エンジニア)としてプラズマ解析ソフトウェアの開発をはじめとして, 解析コンサルティング業務や国内外のユーザー向けの技術サポート・トレーニングなどを担当. 最後までお読みいただきありがとうございます. お気づきの点や扱ってほしい話題がございましたらお気軽にお問い合わせください. |